Hur fort sjunker metall i vatten

Arkimedes princip existerar den maximalt primär formeln inom vätskor samt krafter. Den förmå användas till för att förklara varför detta existerar därför svårt för att sänka ner enstaka badboll beneath vattenytan samt hur stora skepp förmå flyta. Flytkraften \(F_\text{flyt}\) skrivs som

\[ F_\text{flyt} = \rho V g\]

där \(\rho\) existerar densiteten vid den undanträngda vätskan, \(V\) existerar den nedsänkta volymen samt \(g\) existerar tyngdaccelerationen.

Stenar sjunker

Flytkraften kommer ifrån tryckskillnader inom vätskan.

Översatt mot svenska sade Arkimedes något inom stil med...

Ett objekt nedsänkt helt alternativt delvis inom enstaka vätska får enstaka flytkraft uppåt vilket existerar lika massiv såsom tyngden vid den från objektet undanträngda vätskan.

- Arkimedes

I figur 1 existerar detta illustrerat hur Arkimedes princip fungerar ifall ett vikt sänks ner inom ett container tillsammans med vätska.

Om ni någon gång slängt ner enstaka massiv berg inom vattnet möjligen ni noterat för att den sjunker långsammare än vilket den fullfölja inom fritt fall inom luften, oss förmå nyttja Arkimedes princip till för att räkna vid detta.

Exempel vid Arkimedes princip

Ett stenblock från marmor tillsammans med volymen \(0.024~\text{m}^3\) samt massan \(67~\text{kg}\) slängs inom vattnet.

Hur massiv flytkraft får stenen ifrån vattnet den tränger undan?

Vi använder givetvis Arkimedes princip. Densiteten på grund av dricksvatten brukar antas artikel \(1000~\text{kg}/\text{m}^3\), volymen existerar given ovan samt tyngdaccelerationen existerar \(9.82~\text{m}/\text{s}^2\).

\[ F_\text{flyt} = 1000\cdot 0.024 \cdot 9.82 = 235.6...\text{~N.}\]

Flyter stenen?

Självklart ej. oss förmå rita ut krafterna likt verkar samt titta inom vilken riktning stenblocket rör sig i.

Hur fort sjunker stenen?

Vi ritar upp enstaka berg samt sätter ut dem numeriskt värde krafterna vilket verkar vid den.

Vi vet i enlighet med Newtons andra team för att summan från samtliga krafter existerar lika tillsammans med massan multiplicerat tillsammans accelerationen.

\[ F_\text{res} = F_\text{flyt} - F_\text{tyngd}\]

Flytkraften kunna oss notera tillsammans med Arkimedes princip såsom ovan, samt tyngdkraften existerar stenens massa multiplicerad tillsammans tyngdaccelerationen.

Således,

\[ ma = pVg - mg. \]

Vi kunna dividera tillsammans stenens massa vid båda sidorna samt åtgärda ut accelerationen.

\[ a = \frac{\rho Vg }{m} - g\]

För in våra numeriska värden,

\[ a = \frac{1000\cdot 0.024\cdot 9.82}{67} - 9.82 = -6.302...~\text{m}/\text{s}^2\]

Stenblocket får ett acceleration neråt, likt existerar långsammare än en fritt fall, vilket existerar vilket oss förväntar oss ifrån vad oss förhoppningsvis sett inom riktiga existensen någon gång.

Arkimedes princip samt jämvikt

Om oss konstruerar något vilket bör flyta existerar detta från yttersta vikt för att den resulterande kraften inom vertikal riktning existerar 0.

detta existerar sålunda stora ett större vattenfartyg ofta för transport eller krig kunna flyta. Skillnaden mot stenblocket ovan existerar för att uttrycket då är kapabel tecknas som

\[ 0 = F_\text{flyt} - F_\text{tyngd}.\]

vilket är kapabel förenklas till

\[ F_\text{flyt} = F_\text{tyngd}.\]

Vi tittar vid en modell vid ett brygga.

Flytkraft hos enstaka brygga från lättbetong inom vatten

En flytbrygga från lättbetong tillsammans med densiteten \(\rho_b =550~\text{kg}/\text{m}^3\), äger enstaka bredd vid \(b=3.0~\text{m}\), längd \(l=8.0~\text{m}\) samt höjden \(h=0.4~\text{m}\).

Föremål som har högre densitet kommer att sjunka till exempel alla metaller

Hur långt sjunker bryggan ner inom vattnet då den läggs i?

Vi ritar upp ett foto ovan bryggan, detta okända avståndet bryggan sjunker ner inom vattnet kallar oss \(x\).

Därefter ritar oss bryggan ifrån sidan samt ritar ut dem numeriskt värde krafter oss vet verkar vid bryggan.

Vi ställer upp likt ovan till balans då oss vet för att bryggan ej accelererar inom något led då den ligger still.

\[ 0 = F_\text{flyt} - F_\text{tyngd}.\]

Vi till in på grund av respektive kraft.

\[ 0 = \rho V g - mg \]

Vi vet ej massan \(m\) vid bryggan.

Däremot är kapabel oss räkna ut den då oss vet volymen samt densiteten. Volymen till en rätblock existerar bredden multiplicerat tillsammans längden multiplicerat tillsammans med höjden.

\[ m = \rho_b b l h. \]

Den undanträngda volymen \(V\) är kapabel oss notera vilket bredden multiplicerat tillsammans med längden multiplicerat tillsammans med \(x\), var \(x\) existerar djupet bryggan sjunker ner vilket oss ritat inom figur 3.

\[ V = b l x \]

För för att förtydliga, \(blh\) existerar volymen vid läka flytbryggan, \(blx\) existerar volymen vid delen såsom existerar beneath vattenytan.

Detta sätter oss för tillfället in inom uttrycket.

\[ 0 = \rho b l x g - \rho_b b l h g\]

Det existerar väldigt grötigt just idag dock oss är kapabel dividera försvunnen \(b l g\).

\[ 0 = \rho x - \rho_b h \]

Nu önskar oss åtgärda på grund av på grund av \(x\).

\[ \rho x = \rho_b h\]

Dividera tillsammans med vattnets densitet vid båda sidorna.

\[ x = \frac{\rho_b h}{\rho}\]

Till slutligen sätter oss in dem numeriska värdena.

Arkimedes princip visas med hjälp av en tyngd som sänks ner i en behållare med vätska

till densiteten vid dricksvatten använder oss \(\rho = 1000~\text{kg}/\text{m}^3\).

\[ x = \frac{550\cdot 0.4}{1000} = 0.22~\text{m}\]

Bryggan sjunker således ner 0.22m alternativt 22 cm inom vattnet då den läggs inom. enstaka rolig notering liksom ni möjligen märkte existerar för att svaret existerar helt oberoende från bryggans bredd alternativt längd.

Arkimedes princip på grund av zeppelinare samt luftballonger

Arkimedes beskrev ursprungligen hur detta fungerar till vätskor, dock identisk princip gäller till gaser.

Detta innebär för att oss är kapabel räkna vid luftballonger samt zeppelinare tillsammans med hjälp från Arkimedes princip. inom detta fall existerar detta undanträngda mediet luft.

Hur massiv volym behöver luftballongen ha?

Andrée önskar bygga enstaka luftballong likt lyfter tillsammans med ett svag acceleration uppåt vid \(a=0.002~\text{m}/\text{s}^2\).

Det beror på att stenens densitet är högre än vattnets (som är ungefär 1 kg/dm 3)

han använder från säkerhetsskäl helium tillsammans densiteten \(\rho_\text{He} = 0.1785~\text{kg}/\text{m}^3\). Ballongen behöver lyfta Andrée samt enstaka korg vilket tillsammans äger massan \(m_k = 275~\text{kg}\). Hur massiv volym helium behöver Andrèe anskaffa? Luften antas väga \(\rho_\text{L} = 1.225~\text{kg}/\text{m}^3\).

Vi startar liksom brukligt tillsammans med för att rita enstaka skiss ovan Andrées ballong samt dem krafter vilket verkar.

Vi sätter upp Newtons andra team, summan från varenda krafter existerar massan multiplicerat tillsammans accelerationen.

\[ F_\text{res} = F_\text{flyt} - F_\text{tyngd}\]

Flytkraften kommer ifrån för att ballongen tränger undan luften.

\[ F_\text{flyt} = \rho_\text{L} V g \]

där \(V\) existerar den sökta volymen vid helium Andrée önskar ta reda vid.

Tyngdkraften liksom önskar dra ned ballongen består från korgen samt massan vid heliumet.

\[ F_\text{tyngd} = (\rho_\text{He}V + m_k)g\]

Den resulterande kraften existerar massan multiplicerat tillsammans med accelerationen inom enlighet tillsammans med Newtons andra lag,

\[ F_\text{res} = (\rho_\text{He}V + m_k)a.\]

Vi sätter in detta inom vårt ekvation ovan samt löser till volymen \(V\).

\[ (\rho_\text{He}V + m_k)a = \rho_\text{L} V g - (\rho_\text{He}V + m_k)g\]

Nu existerar detta korrekt grötigt, ifall oss besitter ett någorlunda sofistikerad räknare är kapabel oss sätta in variablerna samt åtgärda detta numeriskt.

oss kommer ta den långa vägen samt räkna på grund av grabb.

Arkimedes princip handlar om hur krafter påverkar föremål när dessa befinner sig under vattenytan

oss börjar tillsammans för att förbättra samtliga parenteser, målet sedan existerar för att samla varenda begrepp tillsammans \(V\) vid en sidan.

\[ \rho_\text{He}V a + m_k a = \rho_\text{L} V g - \rho_\text{He}V g - m_k g\]

Flytta ovan \(\rho_\text{He}V a\) mot högerledet samt \(m_k g\) mot vänster.

\[ m_k a + m_k g = \rho_\text{L} V g - \rho_\text{He}V g - \rho_\text{He}V a \]

Bryt ut \(V\) inom högerledet.

\[ m_k a + m_k g = V(\rho_\text{L} g - \rho_\text{He} g - \rho_\text{He} a)\]

Dividera slutligen till för att erhålla volymen \(V\) ensam.

\[ V = \frac{m_k a + m_k g}{\rho_\text{L} g - \rho_\text{He} g - \rho_\text{He} a}\]

Till senaste återstår bara för att sätta in dem numeriska värdena samt räkna,

\[ V = \frac{275 \cdot 0.002 +275 \cdot 9.82}{1.225 \cdot 9.82 - 0.1785 \cdot 9.82 - 0.1785 \cdot 0.002}\]

vilket blir

\[ V = 262.843...

~\text{m}^3.\]

Således behövs detta ungefär 263 kubikmeter helium till för att Andrée bör lyfta tillsammans sin ballong tillsammans önskad acceleration. Då luften blir tunnare, dvs, densiteten reducerar desto högre upp oss kommer finns detta ett höjd då ballongen slutar stiga uppåt. Den höjden går även för att räkna ut tillsammans hjälp från uppgifter vid hur luftens densitet förändras per höjdmeter.

ifall Andrée fyller år sin ballong tillsammans kvantiteten ovan är kapabel denne sannolikt ej räkna tillsammans med några högre ballongfärder.