Hur löser jag en andragradsekvation
Andragradsekvationer
Vi äger tidigare lärt oss angående därför kallade andragradekvationer samt hur man förmå utföra till för att åtgärda liknande ekvationer, bland annat tillsammans med hjälp från pq-formeln. Låt oss repetera hur oss löser andragradsekvationer.
En fullständig andragradsekvation följer identisk mönster liksom nästa ekvation:
$$x^{2}+16x-4=0$$
För för att åtgärda enstaka andragradsekvation tillsammans med hjälp från pq-formeln bör koefficienten framför x2-termen artikel 1 samt högerledet lika tillsammans noll.
För att lösa en andragradsekvation med hjälp av pq-formeln ska koefficienten framför x 2-termen vara 1 och högerledet lika med nolldetta bör alltså finnas enstaka x2-term, enstaka x-term, samt ett konstant term.
Om x2-termen äger enstaka koefficient tillsammans med något annat värde än 1, sålunda behöver oss ursprunglig nedteckna ifall uttrycket genom för att dividera varenda begrepp tillsammans koefficienten.
Här följer en modell vid hur detta är kapabel vandra mot då x2-termen äger koefficienten 2
$$2x^{2}+8x-2=0$$
$$\frac{2x^{2}}{2}+\frac{8x}{2}-\frac{2}{2}=\frac{0}{2}$$
$$x^{2}+4x-1=0$$
Det existerar även nödvändigt för att äga endast noll inom högerledet.
angående oss besitter en anförande alternativt en formulering inom HL subtraherar oss detta ifrån både vänsterledet samt högerledet - kvar inom högerledet blir då noll.
Här existerar en modell vid hur detta förmå vandra till
$$x^{2}+4x-1=7$$
$$x^{2}+4x-1-7=7-7$$
$$x^{2}+4x-8=0$$
När oss för tillfället besitter ett andragradsekvation skriven vid önskad struktur, förmå oss ta nästa steg samt åtgärda denna ekvation tillsammans med hjälp från pq-formeln.
pq-formeln ser ut därför här:
$$x^{2}+px+q=0$$
$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
Vi bör för tillfället visa en modell vid hur man kunna tillämpa denna formel till för att åtgärda enstaka andragradsekvation
$$x^{2}+12x-13=0$$
Vi börjar tillsammans med för att känna igen p samt q.
Observera för att q-värdet existerar negativt:
$$p=12$$
$$q=-13$$
$$x=-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{12}{2} \right )^{2}-(-13)}$$
$$x=-6\pm \sqrt{36+13}=-6\pm \sqrt{49}=$$
$$=-6\pm 7\Rightarrow x_{1}=1\: och\: x_{2}=-13$$
En andragradsekvation besitter ofta numeriskt värde lösningar, dock kunna även äga endast ett svar alternativt ingen lösning.
Här existerar en modell vid enstaka andragradsekvation liksom äger endast ett lösning
$$x^{2}-8x+16=0$$
$$x=-\frac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-8)}{2} \right )^{2}-16}$$
$$x=4\pm \sqrt{(-4)^{2}-16}=4\pm \sqrt{0}$$
$$x_{1}=x_{2}=4$$
Emellanåt är kapabel man även äga för att utföra tillsammans enstaka andragradsekvation liksom ej äger någon reell svar.
Detta inträffar då rot-delen från pq-formeln utgörs från en formulering liksom existerar roten ur en negativt tal.
Den denna plats andragradsekvationen äger ej någon reell lösning
$$x^{2}+10x+26=0$$
$$x=-\frac{10}{2} \pm\sqrt{\left (\frac{10}{2} \right )^{2}-26}$$
$$x=-5 \pm\sqrt{5^{2}-26}=-5\pm \sqrt{-1}$$
Eftersom oss ej förmå räkna ut roten ur -1 saknar ekvationen reell lösning.
Ett annat sätt för att åtgärda en andragradsekvation existerar tillsammans hjälp från kvadratkomplettering
Målet existerar för att notera angående ekvationen vilket ett kvadrat, dvs således här
$$x^2-2bx+b^2= (x-b)^2$$
Vi äger ekvationen
$$x^2-4x-12 = 0$$
Vi lägger mot 12 båda sidor
$$x^2-4x-12+12=0+12$$
Sedan lägger oss mot d2, liksom oss sen bör hitta till för att VL bör bli enstaka kvadrat.
$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$
Vi kollar närmare vid VL vilket oss behöver på grund av värde på d till för att detta bör existera ett kvadrat. (Notera för att detta blir minus inom parentesen eftersom detta existerar minus framför 4x)
$$x^2-4x+d^2 = (x-d)^2$$
$$x^2-4x+d^2 = x^2 -2dx+d^2$$
Så till för att detta bör stämma måste
$$-4x = -2dx $$
Alltså måste d = 2
Nu förmå oss notera ifall den denna plats ekvationen
$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$
$$(x-d)^2= 12+d^2$$
Vi sätter in d = 2
$$(x-2)^2= 12+4$$
$$(x-2)^2= 16$$
Nu drar oss roten ur båda leden samt oss får
$$x-2 = \pm \sqrt{16}$$
$$x=2\pm 4$$
$$x_1= 6 \text{ samt } x_2 = -2$$
VI är kapabel granska våra rötter genom för att byta ut dem mot x i ekvationen oss ägde ifrån start samt får ut 0.
$$6^2 -4\cdot 6 -12 = 36 -24-12 = 0 $$
$$(-2)^2-4(-2)-12= 4+8-12 =0$$
Det stämmer!
Avsaknad från p-värde
pq-formeln som oss använde tidigare är kapabel ständigt tillämpas vid andragradsekvationer, dock ifall ekvationen saknar p- alternativt q-värde, således finns detta enklare metoder för att hitta lösningar.
I detta denna plats avsnittet bör oss titta hur man är kapabel åtgärda andragradsekvationer likt saknar p-värde (p existerar lika tillsammans med noll).
Här existerar en modell vid hur ett sådan andragradsekvation är kapabel titta ut
$$x^{2}-16=0$$
Den på denna plats ekvationen saknar alltså p-värde.
en annat sätt för att notera just den denna plats ekvationen är
$$x^{2}+0\cdot x-16=0$$
Men eftersom
$$0\cdot x=0$$
låter man vanligtvis bli för att notera ut den termen inom uttrycket.
Vi kan åtgärda ekvationen genom pq-formeln:
$$\\p=0$$
$$q=-16$$
$$x=-\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{0}{2} \right )^{2}-(-16)}$$
$$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4$$
$$x_{1}=4 \: samt \: x_{2}=-4$$
Men en enklare sätt för att åtgärda just den denna plats sortens andragradsekvationer existerar för att addera 16 vid båda sidor angående likhetstecknet.
$$x^{2}-16 + 16 =0+16$$
$$x^{2}=16$$
$$x=\sqrt{16}$$
$$x_{1}=4 \: samt \: x_{2}=-4$$
Vi får ut identisk lösning(ar) oavsett vilken från dessa metoder oss använder, dock då andragradsekvationen saknar p-värde kunna den senare metoden existera enklare samt snabbare för att nyttja än pq-formeln.
Vi besitter inom detta förra avsnittet sett för att vissa andragradsekvationer saknar reella lösningar.
exidentisk sak gäller till vissa andragradsekvationer vars p-värde existerar lika tillsammans med noll.
Här existerar en modell vid enstaka sådan andragradsekvation vilket saknar reella lösningar:
$$x^{2}+16=0$$
Försöker oss för att åtgärda den vid identisk sätt såsom oss gjorde nyss tillsammans med den liknande ekvationen, får oss detta denna plats resultatet:
$$x^{2}+16-16=0-16$$
$$x^{2}=-16$$
$$x=\pm \sqrt{-16}$$
Andragradsekvationen saknar alltså reella lösningar, eftersom uttrycket beneath rot-tecknet existerar negativt.
Avsaknad från q-värde
Vi besitter tidigare sett hur man hittar lösningar vid fullständiga andragradsekvationer samt hur man enklare kunna hitta lösningar vid liknande andragradsekvationer vilket saknar p-värde.
Nu bör oss repetera ett teknik likt förmå användas på grund av för att enklare hitta lösningar inom dem fall då andragradsekvationen saknar q-värde (det önskar yttra då q existerar lika tillsammans med noll).
oss besitter tidigare stött vid denna teknik, likt kallas nollproduktmetoden.
Här existerar en modell vid ett andragradsekvation såsom saknar q-värde:
$$x^{2}+4x=0$$
Ett annat sätt för att notera denna ekvation är
$$x^{2}+4x+0=0$$
men vid identisk sätt likt oss såg tidigare inom avsnittet ifall andragradsekvationer liksom saknar p-värde, låter man vanligtvis bli för att nedteckna ut q-värdet angående detta existerar lika tillsammans med noll.
Först bör oss visa för att detta går för att åtgärda denna typ från andragradsekvation tillsammans hjälp från pq-formeln:
$$p=4 \\q=0$$
$$x=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{4}{2} \right )^{2}-0}$$
$$x=-2\pm \sqrt{4}$$
$$x=-2\pm 2$$
$$x_{1}=0 \: samt \: x_{2}=-4$$
Men oss bör även åtgärda ekvationen vid en snabbare sätt.
oss börjar tillsammans med för att faktorisera ekvationens VL samt avbryta ut x:
$$x^{2}+4x=x(x+4)=0$$
Nu äger oss numeriskt värde faktorer vars vara likt bör existera lika tillsammans noll. oss vet för att angående ett från dessa faktorer existerar noll, således kommer VL = 0 = HL:
$$x\cdot (x+4)=0$$
Den inledande roten mot ekvationen existerar därför x=0:
$$0\cdot (0+4)=0\cdot 4=0$$
Den andra roten får oss ifall oss tänker för att den andra faktorn bör artikel noll.
Det grundläggande verktyget är kvadratroten, som fungerar som motsatsen till att kvadreraDen andra faktorn är:
$$(x+4)$$
Vi får alltså vilket enstaka små mini-ekvation vilket oss bör lösa:
$$(x+4)=0\Rightarrow x=-4$$
Den andra roten mot ekvationen existerar därför x=-4:
$$-4\cdot (-4+4)=-4\cdot 0=0$$
De båda rötterna existerar idag funna samt ekvationen existerar löst. oss förmå kontrollräkna våra lösningar genom för att testa för att sätta in dem båda rötterna fanns på grund av sig inom ursprungsekvationen:
$$x_{1}=0$$
$$0^{2}+4\cdot 0=0$$
$$x_{2}=-4$$
$$(-4)^{2}+4\cdot (-4)=16-16=0$$
Låt oss räkna ytterligare en modell, denna gång tillsammans med utgångspunkt inom ett tredjegradsekvation:
$$x^{3}-6x^{2}+5x=0$$
Hur förmå oss åtgärda denna ekvation?
oss kunna direkt titta för att VL består från begrepp likt varenda innehåller x, vilket betyder för att oss förmå faktorisera uttrycket inom VL samt avbryta ut x:
$$x^{3}-6x^{2}+5x=0 \Rightarrow$$
$$x(x^{2}-6x+5)=0$$
Nu förmå oss direkt, genom den inledande faktorn existerar x, titta för att den inledande roten är
$$x_{1}=0$$
Den andra faktorn är
$$(x^{2}-6x+5)$$
Vi skapar ett "mini-ekvation" samt löser ut dem andra numeriskt värde rötterna genom pq-formeln:
$$x^{2}-6x+5=0$$
$$p=-6$$
$$q=5$$
$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$
$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$
$$x_{2}=1 \: samt \: x_{3}=5$$
Just den denna plats tredjegradsekvationen fanns en specialfall, såsom oss kunde åtgärda tillsammans med hjälp från faktorisering samt pq-formeln.
Dessa metoder förmå dock existera användbara för att äga inom minnet ifall man stöter vid ekvationer från högre gradtal.
Vi löser en mot exempel
$$x^3+6x^2+12x=0$$
Vi faktoriserar genom för att avbryta ut x
$$x(x^2+6x+12)=0$$
Första roten är
$$x_1=0$$
Vi löser resten med pq-formeln
$$x= \frac{-6}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}-12}$$
$$x= -3 \pm \sqrt{9-12}$$
$$x= -3 \pm \sqrt{(-3)}$$
Vi fick en negativt anförande beneath rottecknet samt därför är x2och x3 ej reella rötter.
således den enda reella rötter oss fick fanns den oss ägde ifrån början
$$x_1=0$$